来自忘了怎么写的雪球原创专栏
投资中的数学：利润增长一定创造价值吗
本书提出了公司金融四大基石， 其中第一大基石命名为： 核心价值原则。 公司要创造价值， 就必须利用从投资方筹集的资本， 以超过资本成本的回报率（ 投资者要求的回报率） 来创造未来现金流。 公司以诱人的回报率配置的资本越多， 收入增长的速度越快， 创造的价值就越多。 增长与相对于资本成本的投入资本回报率（ ROIC） 二者的结合是推动价值创造的真正因素。
这就解释了为什么一些公司通常拥有较高的市盈率但增长率较低。 在品牌消费品行业， 如全球性糖果公司好时公司2009年年底得市盈率是18， 超过了70%的美国400家最大的非金融公司。 然而， 好时的收入增长率却一直保持在3%~4%之间。 这个原则的关键点在于， 公司的增长和投入资本回报率不同， 相应的战略也会不同。 对于高资本回报率的公司， 提高增长率可以创造最大的价值。 但是， 对于低回报的公司， 资本回报率的改善可以提供最大的价值。 —— 以上文字摘自《 价值》
本文是《 》 ， 、 。 。
利润增长即每股收益的增长是投资者最为看重的一个方面， 各大券商的公司研报最后都会贴上未来几年公司EPS的预测值。 利润增长一定会提高公司的价值吗？ 大多数投资者回答是肯定的， 他们认为， 一个公司利润水平停滞或者倒退， 那么公司的发展一定是触及到了天花板。 如果他是一个上市公司， 那么二级市场给予的估值会下跌， 市值终于涨到头了。 可见EPS的增长是多么被人看重的一个指标， 因此， 不少上市公司不惜想尽各种手段粉饰利润表， 尽可能使利润水平达到市场的预期值。
那么问题来了： 利润的增长一定是为公司创造价值吗？ 公司的生产经营模式根到底就是投入产出模式， 大体可以分为两类， 一类是： 投入少产出大， 投入少数资源（ 资本） 就能促进利润增长。 另外一类是： 投入大产出少， 投入大量资源（ 资本） 才能促进利润增长。 可见， 利润仅仅是价值的一部分。 价值至少包括资本投入和净利润两个方面。
1.数学模型推导： ， 。
首先需要给价值下一个明确的定义。 巴菲特致股东的信明确提到:价值是公司未来创造的所有自由现金流的折现。 那么什么是自由现金流呢？ 财务会计教科书会给出各种不同的定义与公式， 我在这里简化成一个最简单的公式： 自由现金=净利润-资本支出。 这个公式成立的前提是假设利润就是经营活动现金流净额。 实际上， 有的公司经营活动现金流净额大于利润， 有的公司经营活动现金流净额小于利润， 为了方便接下来的数学推导过程， 只能假设净利润等于经营活动现金流净额。
首先定义以下变量：
g=净利润增长率， i=投资率。 ROIC=投资资本回报率， 具体含义如下：
利润增长率=新增利润/以前年度利润
投资率=新增投资额/以前年度利润
因此： g/i=新增利润/新增投资额=投入资本回报率=ROIC，
即g=i*ROIC。 这个公式告诉我们， 。
若分红比例为0， 所有利润留存再投入， 那么i=100%， g=ROIC。 若分红比例为100%， 没有利润留存投入， 那么i=0， 则g=0。 由于大多数公司分红比例介于0到100%之间， 因此g小于ROIC， 也就是说， 公司利润增长率很难超过投入资本回报率。 例如， 伟星新材2017年的ROIC=100%， 分红比例为80%， 即投资率i=20%， 那么利润增长率g=20%*100%=20%。 如果利润增长率超过ROIC， 就是i大于100%， 说明公司已经向外部融资（ 借贷或者股东增资） ， 这也从数学的角度证明了公司加杠杆能够促进利润增长。
因此， 如果公司管理层判断市场真的到了天花板利润无法增长， 那么就应该把当年所有利润都分给股东， 双汇发展在这点上就做得很好， 双汇最近几年利润几乎没有增长， 但是分红比例高达90%。 格力电器董小姐在这点上应该向双汇学习。
由于， 自由现金=净利润-资本支出， 这里假设公司的净利润除了拿去资本再投入， 就是拿去分配给股东。
接着定义， 第一年的自由现金=FCF， 第一年净利润=R， 投资率=i， 则第一年资本开支=i*R， 得到： FCF=R-i*R=R*（ 1-i） ， 其实也就是自由现金等于净利润乘以分红比例。 然后， 再假设公司每年的净利润增长率保持不变为g， 由于投资率i保持不变， 那么公司每年的自由现金增长率也保持不变也是g， 因此可以使用财会教科书上自由现金永续模型对公司进行估值：
公司价值P=FCF/(WACC-g)， 其中WACC是资本成本， g是永续利润增长率。 (这个公式推导过程在最后附录)
综上所述， 以上得到了三个公式：
P=FCF/(WACC-g)
FCF=R*（ 1-i）
i=g/ROIC
把第三个式子代入第二个式子,然后第二个式子代入第一个式子,
得到:
P=R*(1-g/ROIC)/(WACC-g)，
如果R， WACC与ROIC可以看做是已经知道的常量， 那么这个公式就是公司价值P关于利润增长率g的函数。
现在回到开头的问题： 利润增长一定会提高公司的价值吗？ 如果你学过高中数学， 就很容易知道， 转换成数学言语就是： g越大， P值也会越大吗？ 很明显， 这个公式直接看不出P与g是否是递增函数的关系。 接下来对变量g求导， 整理可得： P对g求导=R*（ ROIC-WACC） /(ROIC*(WACC-g)^2),
因此， 由求导结果可知：
当ROIC大于WACC时， P是g的增函数， g越大， P越大。
当ROIC小于WACC时， P是 g的减函数， g越大， P越小。
当ROIC等于WACC时， 无论g如何变化， P都不变。
行文至此， 已经很容易知道， 利润增长不一定会提高公司的价值， 而需要区分具体情况：
当ROIC大于WACC时， 利润增长越快， 公司创造价值就越多。
当ROIC小于WACC时， 利润增长越快， 公司反而毁灭价值越多。
当ROIC等于WACC时， 无论利润增长速度如何， 公司价值都保持不变。
同样道理， 如果R， WACC和g看做是已知的常量， 那么对于P=R*(1-g/ROIC)/(WACC-g)， 就是关于公司价值P与ROIC之间的函数关系， 很明显， 不用求导也容易看出， ROIC越大， P就越大。 也就是说， 在公司利润增长一样的情况下， ROIC越大的公司， 创造的价值就越多。
综上所述：
对于任何水平的利润增长， 价值总是随着投入资本回报率的改善而增长的， 也就是说， 当其他条件相同时， 投入资本回报率总是越高越好。
可是， 利润增长率并非是越高越好。 当投入资本回报率较高， 大于资本成本时， 高利润增长率推动公司价值增加。 但是当投入资本回报率较低， 小于资本成本时， 高利润增长率却会导致价值下降。 投入资本回报率与资本成本相等， 是区分利润增长是推动还是削弱价值的分界线。 当投入资本回报率与资本成本一致时， 不管利润增长有多快， 都不会创造或者削减价值。
ROIC是一个综合指标， ， 。 ， ， ， ， 。 ， ， ， ， 。 ， 。
2.案例分析： ， ， 。
考虑两个公司A公司和B公司， 他们的营业收入和净利润水平都一样， 每年增长率也一样， 第一年营业收入1000亿， 净利润100亿， 营业收入和净利润每年的增长率都是g=5%。 A公司投资率i=25%， 也就是为了维持5%的增长率， A公司每年需要把净利润的25%留存再投入。 B公司投资率i=50%， 也就是为了维持5%的增长率， B公司每年需要把净利润的50%留存在投入。 A公司和B公司的自由现金产生情况如下表：
从产出来看， A公司和B公司的盈利水平一样， 每年净利润增长率一样都是一样g=5%， 也就是说产出相同。
从投入来看， A公司需要每年把净利润的25%留存再投入， B公司需要每年把净利润的50%留存再投入， 也就是说A公司投入少， B公司投入大。
根据： 净利润-资本开支=自由现金， A公司产生的自由现金流比B公司多。 如果资本成本一样， 那么折现回来的的价值A公司比B公司大。 在利润水平一样的情况下， A公司的市盈率比B公司高。 这就解释了一个现象： 尽管两家公司利润水平一样， 但是由于现金流不一致， 市场给予市盈率有显著差异。
事实上， 对于A公司， g=5%， i=25%， 那么ROIC=g/i=20%， 对于B公司， g=5%， i=50%， 那么ROIC=10%。 也即是说， 在其他条件相同的情况下， ROIC高的公司创造的价值更多， 获取的估值水平也应该更高。
假设资本成本WACC=10%， 分别对两个公司进行折现计算：
对于A公司， P=R*(1-g/ROIC)/(WACC-g)=1500亿， PE=15倍。
对于B公司， P=R*(1-g/ROIC)/(WACC-g)=1000亿， PE=10倍。
也即是说， 在其他条件相同的情况下， ROIC高的公司创造的价值更多， 获取的估值水平也合理更高。
3. 实证研究： 。
以上是数学模型推导和理想化案例分析， 那么， 在实践中， 股票投资收益跟ROIC的关系如何呢？ 由于ROIC数据难以准确获取， 因此在这里用ROE替代， 一般来说， 同一个公司的ROIC会比ROE大， 但是都可近似看做是投入资本回报率。
选取所有A股公司总计三千多家， 然后剔除以下公司：
1， 借壳上市
2， 风险警示板块
3， 上市时间不足8年
4， 上市以来有年份亏损过
5， 总市值不足150亿
6， 上市以来的平均ROE低于20%
严格按照以上六层筛选后， 三千多家公司就只剩下了32家（ 其中伊利股份是个百倍股， 可是由于亏损过被排除掉） 。 其中正泰电器2010年上市的时候估值高达75PE， 荣盛发展2007年上市的时候估值超过110倍， 工商银行2006年底上市的时候估值接近30倍。 上市估值高， 导致他们年化收益率低， 故排除掉。 由于张裕B和长安B上市更早， 因此用张裕B和长安B代替张裕A和长安汽车。 最终就剩下29家公司， 几乎都是大众耳熟能详的明星公司， 他们的涨幅收益率和ROE情况如下表： （ 截止时间2018年12月07， 其中涨幅已经包括了分红收益）
从上表看出， 在29个ROE大于20%的公司中， 只有5个公司年化收益率在10%~15%之间， 其余24个公司年化收益率不低于15%。 总体来看， 29个公司的年化收益率的算术平均值是19.7%， ROE的算术平均值是25.4%， 两者差距不大， 基本相匹配。 年化收益率低于ROE， 主要是由于股票涨幅是是复利， 而ROE是平均ROE。 另外， 起点和终点的估值差异也会导致涨幅和ROE的偏离。 理论上上市时间越长， 两者偏离度越小。
需要注意的是， 在其他被排除而不在这29个样本中的公司， 其中存在这样的情况： 股票年化涨幅远远大于公司ROE， 可能是由于公司重组或者其他原因， 我们不得而知。
因此， ， ： ， 。 ， ， 。 ， ， ， ， ， 。 ， ， ， 。
实际上这个也可以从数学定义上理解。 PB=市值/净资产， 只要估值PB保持不变， 市值的增长率等于净资产的增长率， 也就是ROE。 也就是说， 只要PB不掉下来， 股票的收益率就是ROE。 查理芒格说过一段话： 长期来看， 。 ， ， ， 。 ， ， ， 。 ， 以双汇发展为例， 做了一个简单的推算：
结论： ， ， ， 。 ， 。 ， ， 。 ， ， ， ， ， 。 ， ， ， 。 ， ， ， 。
4.应用： 。
上文已经证明， ROIC大于资本成本WACC的时候， 利润增长才会创造价值。 资本成本是一个看不到摸不着， 但是又实实在在地存在着的东西， 因为资本不可能是免费的， 它不是被投入这个公司里谋取收益就是被投入别的公司谋取收益。 说到底， 资本成本可以简单的理解为投资者的预期收益率。 如果把基金组合看做一个多元化公司， 基金管理人要为投资者赚取年化15%的收益， 也就是预期收益率是15%， 那么基金组合持仓的股票整体ROIC必须不低于15%。 如果考虑管理费用1%和业绩提成20%， 扣费前的预期收益率需要达到20%（ 因为20%-20%*20%-1%=15%） ， 那么ROIC必须不低于20%。
巴菲特很推崇的一本书霍华德马克思的《 》 ， 。 ， ， 。 ， ， ： ， ， 。
参考书籍： 《 价值》 ， 蒂姆科勒 著， 金永红 译
附录： 永续增长模型公式推导。
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